Chung qui chỉ tại Cantor (4)

 

Trong bài trước, ta đã chứng minh |S|< |2^S| với mọi tập S bằng lý luận đường chéo. Cantor không dừng lại ở đó, ông xét một chuỗi vô hạn các lực lượng của các tập vô hạn được tạo ra theo cách này: |N|, |2^N|, |2 ^{2^N}|, …, và ông dùng Aleph không, Aleph một, Aleph hai, vân vân để chỉ lực lượng của các tập này. Như vậy, Aleph không là lực lượng của N, câu hỏi tự nhiên là: thế lực lượng của R nằm đâu trong chuỗi này? Cantor tin rằng |R| = Aleph không nhưng ông không chứng minh được điều này. Đây là một trong những bài toán nổi tiếng nhất của thế kỷ 20, thường được gọi là giả thuyết liên tục ( continuum hypothesis).

Giả thuyết liên tục, các va chạm với Leopod Kronecker (người không chấp nhận lý thuyết tập hợp này), cùng với vài nghịch lý đau đầu của lý thuyết của mình (xem dưới đây) làm Cantor bị suy nhược thần kinh liên tục trong hơn hai mươi năm cuối đời mình. Ông ra đi trong một viện an dưỡng sau một cơn đau tim.

Ta thử xem xét một nghịch lý nảy sinh từ lý thuyết Cantor, gọi là nghịch lý Russell. Bertrand Russell (1872-1970) xét tập hợp sau đây:

S = { X | X không phải là phần tử của X}.

Ví dụ, nếu X là tập hợp các khái niệm hiểu được, thì X là phần tử của chính nó, vì rõ ràng khái niệm này có thể hiểu được. Nhưng nếu X là tập hợp các quán nhậu ở Sài Gòn, thì X không phải là phần tử của chính nó. Russell đặt câu hỏi: " thế S có phải là phần tử của chính nó không?" Dễ thấy đây là nghịch lý. Rất oái oăm là nghịch lý này có ý tưởng tương tự như lý luận đường chéo của Cantor. Trước đó, người ta cũng đã biết các nghịch lý khác có tư tưởng tương tự, nhưng vì không phát biểu bằng ngôn ngữ hình thức của toán học nên chúng bị bỏ qua, bị cho là sản phẩm của tính mù mờ của văn nói, văn viết. Ví dụ, nghịch lý kẻ nói dối có thể tả như sau: anh A nói "cái tôi đang nói là sai". Nghịch lý chàng cắt tóc thì nằm ở câu: "trong một làng nọ, có một chàng cắt tóc cắt tóc cho tất cả những ai trong làng không tự cắt tóc lấy" (câu hỏi là, thế anh ta có tự cắt không?). Vấn đề của các nghịch lý này là lối tham chiếu vào bản thân (self-reference) mà sau này Gödel cũng dùng để chứng minh định lý không toàn vẹn (incompleteness theorem) lừng danh của ông. Để dịp khác ta sẽ bàn thêm về định lý này.

Các nghịch lý kiểu như trên khuấy động một cuộc tranh luận lớn có một không hai trong lịch sử về nền tảng của toán học. Bạn thử tưởng tượng, nếu có một nghịch lý không giải quyết được trong bất kỳ ngành học nào, thì nền tảng logic của ngành đó có nguy cơ sụp đổ hoàn toàn! Các nhà toán học hoặc ủng hộ Cantor, hoặc chống đối hoàn toàn lý thuyết tập hợp này. David Hilbert nói: "không ai có thể đuổi chúng ta ra khỏi thiên đàng mà Cantor đã tạo cho chúng ta". Henri Poincaré bảo: "các thế hệ sau sẽ xem lý thuyết tập hợp như một thứ bệnh".

Các nhà toán học và logic học thời đó đề cử vài phương pháp để giải quyết các nghịch lý này:

• Trường phái logic (logicism) đề nghị dùng logic hình thức (formal logic) để làm toán, với hy vọng là logic hình thức sẽ xóa bỏ được sự mù mờ của ngôn ngữ phổ thông. Bộ sách Principia Mathematica của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell là một trong những công trình đại diện cho trường phái này. Các tác giả đã phải dùng đến hai quyển để có thể chứng minh 1+1=2.
• Trường phái trực quan (intuitionism) được khởi xướng khoảng năm 1908 bởi nhà toán học Hà Lan Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Trường phái này là cả một hệ thống triết học. Một trong những luận điểm cơ bản nhất của trường phái trực quan về toán học là: ta phải làm toán mang tính xây dựng (constructive mathematics). Các khái niệm như các số tự nhiên 1, 2, 3 có thể "xây dựng" được từ trực quan con người. Khi định nghĩa một khái niệm mới, nó phải được xây dựng được bằng một số hữu hạn các bước. Như vậy, các chứng minh bằng phản chứng không thể chấp nhận được trong trường phái này, và vì thế các nghịch lý trên không mang ý nghĩa gì cả. Kể cũng thú vị là một định lý cực kỳ nổi tiếng của Brouwer trong hình học tô-pô (fixed point theorem) lại được chứng minh bằng phản chứng!
• Trường phái hình thức (formalism) do Hilbert khởi xướng. Về căn bản, Hilbert tin rằng các nhánh của toán học có thể được mô tả bằng một hệ thống tiên đề và một ngôn ngữ hình thức bậc nhất (first order language) với cú pháp cụ thể. Ngôn ngữ này có thể được nghiên cứu như một đối tượng toán học, và nhờ đó ta có thể trả lời chắc chắn các câu hỏi kiểu như: "có thể nào nhánh toán học này có nghịch lý không?" (Dĩ nhiên nghịch lý đó phải được phát biểu bằng ngôn ngữ hình thức ấy.) Hilbert đề nghị là hình thức hóa tất cả các nhánh của toán học, sau đó chứng minh rằng tất cả các nhánh này đều không có nghịch lý. Đây là nội dung chính của chương trình Hilbert (Hilbert's program).

Hiện nay, chúng ta nói chung đều theo trường phái hình thức của Hilbert. Các ngành như hình học Euclid, lý thuyết số, đại số, vân vân đều được tiên đề hóa và hình thức hóa khá cụ thể. Các sách giáo khoa đều dạy học sinh theo kiểu này.

Ảnh hưởng của Hilbert vào sự phát triển của toán học hơn 100 năm qua là vô cùng to lớn. Khoa học máy tính cũng không ngoại lệ.